洗面所は比較的に開口部が多く、温かくなりにくい空間です。
寒さ対策としては、サッシを入れ替えたり、断熱材を施工して断熱機能を上げる必要があります。
他にも洗面所用の床暖房等の暖房器具も効果的です。

もちろん可能です。
配置やスペースに余裕があればサイズも自由に選んで頂けます。
ちなみに、洗面台の取り替えに合わせて洗面所の内装や洗濯機の水栓も取り替える方も多いです。

漏水時等、もしもの時の備えです。もちろん無くても大丈夫です。
あった方が排水ホースがスッキリします。

三面鏡の裏が収納になっていますので、物もたくさん入りますし、ほこりなども防げます。

はい。もちろんできます。
壁を撤去する方法もありますし、撤去はしなくても今の壁の上に薄い板を貼ってクロスを施工することで費用を抑えることもできます。

湿気の対策をしなければいけませんね。
「換気扇を付ける」「湿気を吸収するタイルを部分的に貼る」 などが効果的です。

今はくもり止め付きのものがほとんどです。

まず、洗面台を設置する場所がどこなのかで適する商品が変わってきます。
ほとんどの方は脱衣場が多いでしょうが、なかにはローカや部屋の中に置くケースもあります。その場に適した機能・収納量を検討するのです。
単に手を洗うだけなら小さくシンプルなものがいいでしょうが、洗濯や洗髪などいろんな使い道を希望されるなら、それに応じた設備がないといけないのです。
シャンプーができるシャワー付水栓や温度調節ができるサーモスタット水栓などや、お湯の配管が難しいのなら洗面台に電気温水器を付属させることになります。
また、洗面の幅もいくつかは用意されているので、設置できるスペースも加味したうえで選んでください。
戸棚が上部にセットできるものや、三面鏡の後ろに細かく収納を組み込んだものもあるので、カタログなどで充分チェックしてから購入されることをおススメします。

ボロボロであれば直された方がいいです。（笑）脱衣所では、床に湿気を持ちやすいので他の部屋より床が傷みやすい傾向があります。
実際に傷み具合が目で分かるとか、ギシギシブカブカと体でも異常が分かるのなら、出来るだけ早く専門家に相談して下さい。床は、一挙に抜けますので、危険があります。
また、脱衣場の床が傷みやすいのは表面からの湿気などの原因もありますが、床下にも問題はあります。床下の基礎は、おおむね部屋を間仕切る壁のラインにあわせてコンクリートで造られるものです。
よって、壁で囲まれている部屋と同じように、部屋の下でもコンクリートの基礎によって空間が仕切られているのです。
ということは、脱衣場やトイレと言った小さな部屋は、それと同じように床下でも小さな空間に仕切られ、そこにたまった床下の湿気なども逃げにくくなって、床下からも床材を傷める原因をつくているのです。
そういった湿気をなくす方法としては、床下の空気の流れをよくすることが必要です。本来は、囲まれている基礎を撤去して風通しをよくすれば簡単なのですが、基礎は構造のかなめなので撤去するのはかなり難しいのです。
なので、簡単にするには換気扇を取り付ける場合があります。換気扇にも、湿度センサー付のものや24時間換気機能付の製品がありますので程度によってお選びください。